Пусть заданы группы g 1 = (G 1 , ⋅, 1) и g 2 = (G 2 , ⋅, 1) Отображение f: G 1 → G 2 называют гомоморфизмом группы g 1 в группу g 2 (гомоморфизмом групп), если для любых x, у ∈ G 1 выполняется равенство f(x ⋅ у) = f(x) ⋅ f(у), т.е. образ произведения любых двух элементов группы g 1 при отображении f равен произведению их образов в группе g 2 .
Если отображение f сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы g 1 на группу g 2 .
Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп g 1 и g 2 одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.
Пример 2.21. Пусть g 1 = (ℤ, +, 0) - аддитивная группа целых чисел, а g 2 = ℤ +k - аддитивная группа вычетов по модулю k.
Зададим отображение f так: для всякого целого m образ f(m) равен остатку от деления m на k. Можно проверить, что для любых целых тип имеет место равенство f(m + n) = = f(m ⊕ k f(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на к равен сумме по модулю к остатков от деления на к каждого слагаемого.
Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы g 1 в группу g 2 . Далее, поскольку любое целое число от 0 до k - 1 есть остаток от деления на k какого-то числа, то отображение f является и эпиморфизмом группы g 1 на группу g 1 .
Теорема 2.14. Пусть g 1 , g 2 - произвольные группы. Если f: g 1 → g 1 - гомоморфизм, то:
◀ Согласно определению гомоморфизма, для произвольного x ∈ g 1 имеем f(х) ⋅ f(1) = f(х ⋅ 1). Далее, f(х ⋅ 1) = f(х), т.е. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Следовательно, f(1) = (f(х)) -1 ⋅ f(х) = 1, т.е. f(1) = 1
Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем
f(x -1) ⋅ f(x) = f(x -1 ⋅x) = f(1) = 1, т.е. f(x -1) = -1
Множество f(G 1) - образ носителя группы g 1 при гомоморфизме f - замкнуто относительно умножения группы g 2 . Действительно, если g 2 , g 2 " ∈ f(g 1), то существуют такие g 1 , g 1 " ∈ g 1 что f (g 1) = g 2 и f (g 1 ") = g 2 ". Тогда
g 2 g 2 " = f(g 1)f(g 1 ") = f(g 1 g 1 ") ∈ f(g 1).
Из теоремы 2.14 следует, что f(g 1) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы g 2 носителем которой будет множество f(g 1). Эту группу называют гомоморфным образом группы g 1 при гомоморфизме f.
Группу K называют просто гомоморфным образом группы g , если существует гомоморфизм группы g на группу K . Так, группа ℤ *k при любом k > 1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).
Обратимся к следующему примеру.
Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (С\ {0}, ⋅, 1) комплексных чисел с обычной операцией умноже- умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.
Рассмотрим также группу М 2 невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).
Определим отображение f множества ℂ комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа а + bi, что
Покажем, что f - гомоморфизм групп. С одной стороны,
f[(a + bi)(с + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =
С другой стороны,
Следовательно,
f[(a + bi)(с + di)] = f(a + bi) f(с + di).
Таким образом, отображение f - гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при f - это подгруппа K группы матриц M 2 , состоящая из матриц вида Здесь мы учли, что любая матри ца вида является образом некоторого комплексного числа (а именно а + bi) при отображении f. Группа K - собственная подгруппа группы M 2 . #
Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.
Теорема 2.15. Если f - гомоморфизм группы g в группу K, a g - гомоморфизм группы K в группу L, то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм группы g в группу L. #
Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.
Теорема 2.16. Если f: g 1 → g 2 - изоморфизм группы g 1 на группу g 2 то отображение f -1 , обратное к отображению f, есть изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .
◀Пусть х и у - произвольные элементы группы g 2 , пусть также х = f(u), а у = f(v), где u и v - элементы группы g 1 .
f -1 (xy) = f -1 (f(u)f(v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),
т.е. отображение f -1 - гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то f -1 - изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .
Группы g и K называют изоморфными , если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение g ≅ K.
Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение а множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следователь- Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изо- изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.
Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы g в группу К называют прообраз Кег f единицы группы g при гомоморфизме f: Кегf = f -1 (1)⊆ G.
Пример 2.23 . Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на k.
Теорема 2.17 . Ядро Кегf гомоморфизма f: g → K есть подгруппа группы g .
◀Нужно убедиться в том, что множество Кег f замкнуто относительно умножения группы Q, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.
Если a, b ∈ Ker f, т.е. f(a) = f(b) = 1, то f(ab) = f(a)f(b) = = 1 и аb ∈ Кегf. Ясно, что 1 ∈ Kerf, так как f(1) = 1 (см. теорему 2.14). Если а ∈ Кегf, то f(а -1) = -1 = 1 -1 = 1, т.е. и a -1 ∈ Кегf.
Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных k.
Подгруппа Н группы g называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы g , если аН = На для любого a ∈ G.
В коммутативной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.
Пусть H = (H, ⋅, 1) - подгруппа группы g = (G, ⋅, 1). Для фиксированных элементов a, b ∈ G через аНb обозначим множество всех произведений вида ahb, где h ∈ Н. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.
Теорема 2.18. Подгруппа H = (H, ⋅, 1) является нормальным делителем группы g = (G, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда аНа -1 ⊆ Н для любого а ∈ G.
◀Если Н - нормальный делитель, то для любого а ∈ G аН = = На, т.е. для любого h ∈ H найдется такое h 1 ∈ H, что аh = = h 1 a. Пусть элемент х ∈ аНа -1 , т.е. x = aha -1 для некоторого h ∈ Н. Так как ah = h 1 а, то х = h 1 аa -1 = h 1 ∈ H и поэтому аHа -1 ⊆ H.
Обратно, если аНа -1 ⊆ H, то любой элемент х = aha -1 , где h ∈ Н, принадлежит и множеству H, т.е. aha -1 = h 1 для некоторого h 1 ∈ H. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah = h 1 a, т.е. элемент ah из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН ⊆ На.
Теперь возьмем для произвольного a ⊆ G обратный к а элемент а -1 и для него запишем включение а -1 На ⊆ H (напомним, что (а -1) -1 = а). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых h, h 1 ∈ H имеет место равенство a -1 h = h 1 a -1 , т.е. ha = ah 1 и На ⊆ аH. Итак, аН = Hа и H - нормальный делитель.
Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.
Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма f группы g в группу K является нормальным делителем группы g .
Для любого у ∈ Кег f и любого a ∈ G имеем
f(aya -1) = f(a)f(y)f(a -1) = f(a)⋅0⋅f(a -1) = f(a)f(a -1) = 1
Это значит, что для любого а ∈ G выполняется соотношение а(Кег f)а -1 ⊆ Кег f, а, согласно теореме 2.18, Кегf - нормальный делитель.
Пусть H = (H, ⋅, 1) - нормальный делитель группы g = = (G, ⋅, 1). Рассмотрим множество всех левых смежных классов {аН: a ∈ G}. Это будет не что иное, как фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности ~ H .
Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением аН ⋅ bН классов аН и bН назовем класс аbН.
Это определение корректно, так как множество аН ⋅ bН, т.е. множество всех произведений вида ahbh 1 для различных h, h 1 ∈ H, в силу того что Hb = bH для всякого b ∈ G, совпадает с левым смежным классом аbH. Действительно, поскольку hb = = bH" для некоторого h" ∈ H, то ahbh 1 = abh"h 1 ∈ аbH.
Теперь рассмотрим некоторый х ∈ аbH, т.е. x = abh для некоторого x ∈ Н 1 . Поскольку bh = h"b для некоторого h" ∈ Н, то х = аx"b = ah"b1 ∈ aHbH. Следовательно, аH ⋅ bН = abH.
Можно далее легко показать, что для каждого a ∈ G имеют место аН ⋅ Н = Н ⋅ аН = аН и аН а -1 Н = а 1 Н ⋅ аН = Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактормножество G/~ H множества G по отношению эквивалентности ~ H с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы H, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс а -1 Н. Эту группу называют фактор-группой группы g по нормальному делителю H и обозначают g /H. Можно указать естественный гомоморфизм f группы g в фактор-группу g /H, который вводится согласно правилу: (Aх ∈ G)(f(x) = хН). Так как хН ⋅ уН = хуН, то для любых x,y ∈ G f(xy) = xyH = хН⋅ уН = f(x)f(y) и f - действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы g в фактор-группу g /H.
Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу ℝ = = (ℝ, +, 0) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел ℤ = (ℤ, +, 0) (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: ℝ и ℤ соответственно.)
Выясним смысл отношения экивалентности ~ ℤ определяемого через равенство левых смежных классов*, по подгруппе ℤ в этом случае.
Равенство левых смежных классов а + ℤ = b + ℤ означает, что для любого целого m найдется такое целое n, что а + m = b + n, т.е. a-b = n-m ∈ ℤ. Обратно, если разность а - b есть целое число, т.е. a -b = n ∈ Z, то a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Итак, a~ ℤ b тогда и только тогда, когда а - b ∈ ℤ, или, иначе говоря, действительные числа а и b ~ ℤ - эквивалентны тогда и только тогда, когда их дробные части равны.
*Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не различая левых и правых, так как для нормального делителя эти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе.
Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа ℝ/ℤ группы ℝ по нормальному делителю ℤ строится так: сумма классов а + ℤ и b + ℤ равна классу (а + b) + ℤ. Вводя обозначение а + ℤ = [а], получаем [а] + [b] = [а + b]. При этом = ℤ (т.е. единица фактор-группы - это смежный класс нуля - множество всех целых чисел), причем -[а] = [-а] = (-а) + ℤ. Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однозначно определяется его дробной частью (см. пример 1.14.6), т.е. [х] = . Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х ↣ [х].
б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1 , т.е. группу S 1 = (: а ∈ ℝ} смежных классов в полуинтервал ) = . Поскольку [х] = - биекция и, кроме того,
φ([х] + [y]) = φ([х+y]) = = + > = ⊕ 1 = φ ([х]) ⊕ 1 φ ([y]).
Это значит, что φ - изоморфизм ℝ/ℤ на S 1 .
Группу S 1 можно воспринимать как „наглядный образ" фактор-группы ℝ/ℤ. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем }
