Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Пирамида Тема урока:

Понятие пирамиды Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

Высотой пирамиды Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из её вершины к плоскости основания.

Правильная пирамида Пирамидой называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а основание высоты (проекция вершины) совпадает с центром этого многоугольника.

Правильная пирамида Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая высоту. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины.

Треугольная правильная пирамида Треугольной правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.

Четырёхугольная правильная пирамида Четырёхугольной правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит квадрат.

Площадь поверхности и объём правильной пирамиды Боковая поверхность: , где – периметр основания, – боковое ребро. Полная поверхность: Объём: , где – площадь основания призмы, – высота.

Сечение пирамиды плоскостью Диагональным сечением пирамиды называется сечение, которое проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, - многоугольник, подобный многоугольнику основания. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину, - треугольник.

Усеченная пирамида Усеченной пирамидой называется многогранник, который отсекается от пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и пересекающей боковые ребра, а также размещен между плоскостью основания и плоскостью сечения.

Усеченная пирамида Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Замечания: Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекая её, отсекает подобную пирамиду. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Правильная усеченная пирамида Усеченная пирамида называется правильной, если она получена пересечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.

Свойства правильной усеченной пирамиды Основания – правильные многоугольники. Боковые грани – равные равнобокие трапеции. Отрезок, соединяющий центры оснований, - высота. Высота боковой грани называется апофемой.

Спасибо за внимание!

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками.

вершина

• вершина

боковые ребра

боковые грани

основание

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники .

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.

S п= S осн+ S б.п.

ABCD – основание

SO – высота

• Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды.

• Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

∆ SDB – диагональное сечение

пирамиды SABCD.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

S бок = ½ P осн  SH

Док – во:

S бок = (½al + ½al + ½al + …) =

= ½ l (a + a + a + …)= ½Pl

Построение правильных пирамид

Усеченная четырехугольная пирамида

C 1

D 1

Верхнее основание

О 1

Апофема

A 1

B 1

Боковые грани

(трапеции)

Нижнее основание

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему .

S бок =½ ( P 1осн. + P 2 осн. )  l

D 1

С 1

Док – во:

S бок = (½(a+b)l + ½(a+b)l + +½(a+b)l + …) =

= ½ l ( (a+a+…)+(b+b+…) ) =

=½ ( P 1осн. + P 2 осн. )  l

О 1

А 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

3 слайд

Описание слайда:

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

4 слайд

Описание слайда:

Элементы пирамиды вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания; боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды; боковые ребра - общие стороны боковых граней; основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды; высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины; Содержание

5 слайд

Описание слайда:

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр. Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник и все боковые ребра равны. Усеченной пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена - правильная Прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды. Содержание

6 слайд

Описание слайда:

Свойства ПИРАМИДЫ Если в пирамиде все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды. Если в пирамиде длины всех боковых ребер равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды. Если в пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Если в пирамиде длины всех апофем боковых граней равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Боковые ребра правильной пирамиды - равны. Боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники. Боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Апофемы правильной пирамиды равны. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны).

7 слайд

Описание слайда:

В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны. Центром описанной, около пирамиды, сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке. Эта точка будет центром сферы. Если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна, а каждый из них соответственно, где n - количество сторон многоугольника основания. Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой. Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой. Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой. Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды - вписанный многоугольник. Содержание

8 слайд

Описание слайда:

Формулы площади поверхности пирамиды где P – периметр основания, h – апофема Смотреть видеоурок Содержание

9 слайд

Описание слайда:

Жители Литвы совершают паломничество к своей, а не египетской пирамиде! В глубине литовских лесов вознесся к небу огромный, величиной с двухэтажный дом, стеклянный купол. Он покрыл знаменитую литовскую пирамиду -место паломничества тысяч туристов, верящих в ее целительные свойства. Исцеляющая Пирамида в Литве

10 слайд

Описание слайда:

Полгода назад на даче известного сатирика в Юрмале появилась пятиметровая пирамида «ТОЛЬКО НЕПРОСВЕЩЕННЫЕ ДУМАЮТ, ЧТО ПИРАМИДЫ НАУЧИЛИСЬ СТРОИТЬ ЕГИПТЯНЕ» На собственной же исторической родине в Юрмале известный сатирик возвел - ни много ни мало! - настоящую пирамиду. Конечно, не каменного исполина высотой 146, 6 метра, как у Хеопса, а всего лишь пятиметровую конструкцию -деревянную, крытую осиновой дранкой Пирамида в Юрмале

11 слайд

Описание слайда:

В Японии появился жилой дом в форме пирамиды. Пирамида - одна из древнейших в мире архитектурных форм. Пирамидальные постройки создавали и древние египтяне, и древние китайцы, и древние майя. Эти сооружения выдержали испытание временем. Японская семья из города Санйо заказала себе жилой дом в виде пирамиды. Дом-пирамида в Японии

12 слайд

Описание слайда:

Живая вода в поле Пирамиды Внутри пирамида обладает несколькими энергетическими уровнями (зонами). Верхний уровень - зона максимальной концентрации энергии. В процессе поиска ключей к разгадке свойств «вод Источника жизни» выяснилось, что вода, помещенная в эту зону, не портится годами. Поле этой зоны подавляет жизнедеятельность патогенных бактерий! Этот эффект связан с повышением кислотности воды находящейся в этой зоне (снижение показателя pH). Любопытно, что и в древности такую воду называли «мертвой».

Выполнила учитель математики КОГОБУ «Центр дистанционного образования детей» Плетнева Светлана Викторовна

SABCDEF - пирамида

SK – высота пирамиды

S

SM – высота боковой грани

C

D

B

K

E

M

A

F

Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника

Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.

М

В

Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

А

О

С

Пирамиды, в которых:

1) высота проходит через центр описанной около основания окружности.

2) Все боковые ребра равны

3) Все боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания

4) Все боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды

Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника

Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.

S

B

N

A

O

Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.

K

K

M

C

C

Пирамиды, в которых:

1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности.

S

2) Все высоты боковых граней равны

3) Все двугранные углы при основании равны

B

4) Высота пирамиды образует равные углы с плоскостями всех боковых граней

N

A

O

K

K

5) Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины

M

C

C

Если пирамида обладает хотя бы одним из перечисленных свойств, то она обладает и остальными.

Дано: АВС – прямоугольный треугольник ВС = 10 см – гипотенуза DB = DA = DC DO = 12см – высота пирамиды

Найти: AD

Решение:

Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания

S

Если в пирамиде две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то общее боковое ребро этих граней является высотой пирамиды.

B

S

S

A

C

B

B

Если в пирамиде плоскость одной из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит плоскости этой боковой грани.

A

A

C

C

Правильная пирамида

Усеченная пирамида

В 1

С 1

А 1

В 1

О 1

А 1

D 1

С 1

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 10 см и 6 см, а площадь диагонального сечения см 2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

В 1

С 1

О 1

А 1

Слайд 1

Презентация по теме «пирамида»

Слайд 2

исторические сведения о пирамиде
Египетские пирамиды – одно из семи чудес света. Что же такое пирамиды? Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Самая большая из трех - пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания - 232 м.

Слайд 3

ПИРАМИДА
Многогранник, составленный из n-угольника АB…E и n-треугольников, называется пирамидой. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды- сумма площадей ее боковых граней.
S полн.= S бок.+ Sосн

Слайд 4

Многоугольник АВ…Е называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Точка М называется вершиной пирамиды, а отрезки МА, МЕ, … , МВ- ее боковыми ребрами.
пирамида

Слайд 5

Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок PO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания*, является её высотой. PE – апофема пирамиды.
*Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.

Слайд 6

Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника A₁PO, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности.
Правильная пирамида

Слайд 7

ТЕОРЕМА:
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. S полн = ⅟₂ Pоснов * d

Слайд 8

Усечённая пирамида
Многогранник, гранями которого являются n-угольники A 1 A 2… A n и B 1 B 2… B n (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A 1 A 2 B 2 B 1, A 2 A 3 B 3 B 2,…,A n A 1 B 1 B n (боковые грани), называется усечённой пирамидой. Отрезки A 1 B 1, A 2 B 2,…,A n B n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды. Перпендикуляр CО, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды.
P
A 2
A 3
A 1
A n
B n
B1
B 2
B 3
C
Sбок = ⅟₂(P₁ + P₂) * d