Презентация на тему "история комплексных чисел". Презентация на тему "история комплексных чисел" Скачать презентация возникновение комплексных чисел и применение

Слайд 6

кубические и квадратные корни:

Слайд 7

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Слайд 8

Слайд 9

Кроме х=1, есть еще два корня

Слайд 10

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

Слайд 11

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида

Слайд 12

нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что

Слайд 13

3. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Слайд 14

Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слайд 15

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Слайд 16

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу

Слайд 17

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

Слайд 18

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины.

Слайд 19

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”

Слайд 20

Слайд 21

4.Геометрическое представление комплексного числа

Слайд 22

Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Слайд 23

5. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс

Слайд 24

Комплексные числа, несмотря на их“лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии

Слайд 25

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

Слайд 26

Спасибо за внимание!

Посмотреть все слайды

1 слайд

2 слайд

N C Z C Q C R C C N- ”natural” R- “real” C - “complex” Z – исключительная роль нуля “zero” Q – “quotient” отношение (т.к. рациональные числа – m/n) C R Q Z N

3 слайд

Минимальные условия комплексного числа 1) Существует число, квадрат которого = -1. 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяет обычным законом арифметических действий.

4 слайд

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый») "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707-1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и» отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. К а р д а н о, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

5 слайд

Условия про операции комплексных чисел позволяют умножать комплексные числа на мнимую единицу (i). Такое произведение называют чисто мнимыми числами. Например: i, 2i, -0,3i – чисто мнимые числа. 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i2=-39 ПРАВИЛА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 10 ai+bi=(a+b)i 20 a(bi)=(ab)i 30 (ai)(bi)=abi2= -ab 40 0i =0

6 слайд

Сумма a+bi (a и b действительные числа) а = 0, то a+bi =0+bi=bi (мнимое) b = 0, то a+bi =а+0=а (действительное) а не равно нулю, то a+bi ни действительное, не мнимое. Оно более сложное составное число. КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЗЫВАЮТ СУММУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА И ЧИСТО МНИМОГО ЧИСЛА Z=a + bi

Локтионова Г.Н.

преподаватель математики

ГАПОУ «Автотранспортный колледж»

«Комплексные числа и действия

над ними»

• После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

• Историческая справка
• Основные понятия
• Геометрическое изображение комплексных чисел
• Формы записи комплексных чисел
• Действия над комплексными числами

• Гусак, А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в 2т. Т.1. /А.А. Гусак. – 5-е изд. – Минск.: ТетраСистемс, 2004. – 544с.
• Канатников, А.Н. Линейная алгебра. / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 – 336 с.
• Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. / А.Г. Курош. - М.: Наука,1971- 432 .
• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. - 288 с.
• Сикорская, Г.А. Курс лекций по алгебре и геометрии: учебное пособие для студентов транспортного факультета / Г.А. Сикорская. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 374 с.

п.1 Историческая справка

Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения алгебраических уравнений.

С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.

Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Р.Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.

Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие математики Ньютон и Лейбниц.

Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде z=a+ib , что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения.

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.

п. 2 Основные понятия

Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица , которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z

(a = Re z ), а b - мнимой частью (b = Im z ).

Если a = Re z =0 , то число z будет чисто мнимым , если b = Im z =0 , то число z будет действительным .

Числа z=a+ib и называются комплексно – сопряженными .

Два комплексных числа z 1 =a 1 +ib 1 и z 2 =a 2 +ib 2 называются равными , если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части

Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+iy , z=u+iv .

п. 3 Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re z , у = Im z . И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).

Рисунок 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .

Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi .

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы

т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0) , концом M(x;y) .

Длина вектора изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z| или r .

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ .

Аргумент комплексного числа z=0 не определен.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

где arg z - главное значение аргумента , заключенное в промежутке (- π , π ] .

п.4 Формы записи комплексных чисел

Запись числа в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Из рисунка 1 видно, что x=rcos φ , y=rsin φ , следовательно, комплексное z=x+iy число можно записать в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Аргумент φ определяется из формул

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ =arg z .

Так как то из формулы получаем, что

Для внутренних точек I , IV четвертей;

Для внутренних точек II четверти;

Для внутренних точек III четверти.

Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.

Решение . Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cos φ +isin φ ) , где

1) z 1 = 1 +i (число z 1 принадлежит I четверти), x=1, y=1.

Таким образом,

2) (число z 2 принадлежит II четверти)

Так как то

Следовательно,

Ответ:

Рассмотрим показательную функцию w=e z , где z=x+iy - комплексное число.

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0 ), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме

z=r(cos φ +isin φ )

и воспользоваться формулой Эйлера e i φ =cos φ +isin φ , то комплексное число можно записать в виде

z=r e i φ

Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.

п. 5 Действия над комплексными числами

1) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

а) Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Свойства операции сложения:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

б) Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Разностью двух комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i называется такое комплексное число z , которое, будучи сложенным с z 2 , дает число z 1 и определяется равенством

z=z 1 – z 2 =(x 1 – x 2 )+i(y 1 – y 2 ).

в) Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i , определяемое равенством

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –x 2 y 1 ).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 = – 1.

Свойства операции умножения:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

г) Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Частным двух комплексных чисел z 1 и z 2 ≠ 0 называется комплексное число z , которое будучи умноженным на z 2 , дает число z 1 , т.е. если z 2 z = z 1 .

Если положить z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , то из равенства (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 i, следует

Решая систему, найдем значения x и y :

Таким образом,

На практике вместо полученной формулы используют следующий прием: умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример 2. Даны комплексные числа 10+8i , 1+i. Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Решение.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;

в) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n -ю степень

Выпишем целые степени мнимой единицы:

В общем виде полученный результат можно записать так:

Пример 3. Вычислить i 2 092 .

Решение.

• Представим показатель степени в виде n = 4k+l и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Имеем: 2092=4 ∙ 523 .

Таким образом, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , но так как i 4 = 1 , то окончательно получим i 2 092 = 1 .

Ответ: i 2 092 = 1 .

При возведении комплексного числа a+bi во вторую и третью степень пользуются формулой для квадрата и куба суммы двух чисел, а при возведении в степень n (n – натуральное число, n ≥ 4 ) – формулой бинома Ньютона:

Для нахождения коэффициентов в этой формуле удобно пользоваться треугольником Паскаля.

е) Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Квадратным корнем из комплексного числа называется такое комплексное число, квадрат которого равен данному.

Обозначим квадратный корень из комплексного числа x+yi через u+vi , тогда по определению

Формулы для нахождения u и v имеют вид

Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли равенству 2uv=y .

Пример 4. Извлечем квадратный корень из комплексного числа z=5+12i .

Решение.

Обозначим квадратный корень из числа z через u+vi , тогда (u+vi) 2 =5+12i .

Поскольку в данном случае x=5 , y=12 , то по формулам (1) получаем:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Таким образом, найдено два значения квадратного корня: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i , . (Знаки выбрали согласно равенству 2uv=y , т.е. поскольку y=120 , то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)

Ответ:

2) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Рассмотрим два комплексных числа z 1 и z 2 , заданных в тригонометрической форме

а) Произведение комплексных чисел

Выполняя умножение чисел z 1 и z 2 , получаем

б) Частное двух комплексных чисел

Пусть заданы комплексные числа z 1 и z 2 ≠ 0 .

Рассмотрим частное имеем

Пример 5 . Даны два комплексных числа

Решение.

1) Используя формулу. получаем

Следовательно,

2) Используя формулу. получаем

Следовательно,

Ответ:

в) Возведение комплексного числа, заданного в тригонометрической форме в n -ю степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

где n – целое положительное число.

Следовательно , при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени .

Выражение (2) называется формулой Муавра .

Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик французского происхождения.

Заслуги Муавра:

• открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;
• первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов;
• большой вклад в теорию вероятностей: доказал частный случаи теоремы Лапласа, провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению.

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример 6. Найти формулы sin 2  и cos 2  .

Решение.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

г) Извлечение корня п

Корнем п -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w , удовлетворяющее равенству w n =z , т.е. если w n =z .

Если положить а то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

Отсюда имеем

Поэтому равенство принимает вид

где (т.е. от 0 до n-1 ).

Таким образом, извлечение корня n -ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n -ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 7. Найти все значения

Решение.

Вначале представим число в тригонометрической форме.

В данном случае x=1 , , таким образом,

Следовательно,

Используя формулу

где k=0,1,2,…,(n-1), имеем:

Запишем все значения:

Ответ:

Вопросы для самоконтроля

1 . Сформулируйте определение комплексного числа.

2. Какое комплексное число называется чисто мнимым?

3. Какие два комплексных числа называются сопряженными?

4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.

5. Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.

6. Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.

7. Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень (n - натуральное число)?

8. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.

9 . Какая форма записи называется тригонометрической формой комплексных чисел?

10. Сформулируйте определение модуля и аргумента комплексного числа.

11. Сформулируйте правило умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. Сформулируйте правило нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

13. Сформулируйте правило возведения в степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

14. Сформулируйте правило извлечения корня n -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

15. Расскажите о значении корня n -ой степени из единицы и о сфере его применения.

Тематические материалы:

Бизнес-план шиномонтажа Как правильно сделать рекламу шиномонтажа

Коммерческое предложение на техническое обслуживание, ремонт оргтехники, заправку, восстановление картриджей, поставку новых картриджей Заправка картриджей коммерческие предложения по цене

Ферма с нуля — открываем домашний бизнес

Составляем бизнес план кондитерской пекарни: проект с расчетами Бизнес план по открытию булочной пример

Козий бизнес с чего начать

Открываем собственное производство пива: бизнес-идея Какие затраты на производство пиво

Малый пивоваренный формат

Миллиардер Карлос Слим Элу: биография, состояние Карлос слим элу состояние